Multiplicação de Matrizes: Como funciona e Quando Não Pode?

por | 16/09/2021 | 0 Comentários


Existem diversos assuntos de matemática que alunos do ensino médio podem ter dificuldade para resolver exercícios. Um desses exemplos podem ser as matrizes e a multiplicação de matrizes,

A multiplicação de matrizes é feita por meio de um algoritmo que exige bastante atenção durante o cálculo para que o resultado seja o correto. Se você tem dúvidas sobre esse assunto e quer aprender mais sobre, está no artigo certo!

Aqui vamos ensinar o que são as matrizes, quais são os tipos de matrizes que existem, como fazer soma, subtração e multiplicação de matrizes, além de explicar quais são os casos em que não se pode fazer a multiplicação delas. Boa leitura!

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Primeiro, o que são as matrizes?

Em primeiro lugar, é importante esclarecer que as matrizes se configuram como uma tabela organizada em linhas e colunas.

As matrizes são sempre representadas por letras maiúsculas (como, por exemplo, A, B, e C) e são acompanhadas por índices.

Os índices que acompanham as matrizes servem para indicar a quantidade de linhas, no caso do primeiro, e o número de colunas, no caso do segundo valor.

Dessa forma, as matrizes são representadas por essa simbologia: Am x n, sendo m = linhas e n = colunas.

A quantidade de fileiras horizontais e fileiras verticais de uma matriz determina sua ordem. Sendo assim, como mostramos neste exemplo, a matriz A tem a ordem m por n. Um exemplo de representação de matriz pode ser visto na imagem abaixo:

Nesse caso, trata-se de uma matriz com duas linhas e duas colunas. Sua ordem é, portanto,  A 2×2.

Além disso, também é possível escrever um elemento utilizando uma representação matemática, representando genericamente os elementos de uma matriz, portanto.

As informações de uma matriz se chamam de elementos e ficam organizadas entre parênteses, colchetes ou duas barras verticais

Cada elemento será representado por letras minúsculas (como, por exemplo, a, b e c). Dessa forma, ele também possui índice que indica sua localização.

O primeiro número indica a linha em que o elemento está, e o segundo número indica a coluna na qual ele se localiza. O primeiro número diz respeito à localização da linha e o segundo, da coluna.

O elemento a 1×1, no caso do exemplo que mostramos acima, representa o número 1. Já o elemento a 1×2 representa o número 3. O a 2×1 representa o número 2 e o a 2×2 representa o número -1. 

Qual a importância do cálculo de matrizes?

calculo de matrizes

A função das matrizes, de modo geral, é relacionar dados numéricos. Portanto, trata-se de um conceito de matriz que não é só importante para a área da matemática, mas também em outras áreas, devido as suas aplicações.

Com o objetivo de facilitar e resolver problemas, a matriz é comumente utilizada para a organização de dados tabulares.

O conjunto das matrizes, quando usado nas operações de adição, subtração e multiplicação e de características, podem oferecer uma estrutura matemática que possibilita sua aplicação em diversos campos da matemática.

Como as matrizes organizam os elementos de maneira lógica para facilitar a consulta das informações, ela pode ser usada em elementos do dia a dia, como, por exemplo, para relacionar a venda dos bolos de uma confeitaria no primeiro e segundo semestre do ano.

A tabela representa uma matriz com 3 linhas (tipos de bolo) e 2 colunas (meses do ano) e, por isso, trata-se de uma matriz A3x2.

TIPOS DE BOLOS PRIMEIRO SEMESTRE SEGUNDO SEMESTRE
BOLO DE BRIGADEIRO 600 720
BOLO DE MORANGO 500 540
BOLO DE CHURROS 900 1000

Quais são os tipos de matrizes?

Os tipos de matrizes incluem as diversas maneiras de representação de seus elementos. Algumas das suas classificações são:

  • Linha;
  • Coluna;
  • Quadrada;
  • Nula
  • Diagonal;
  • Identidade;
  • Inversa;
  • Oposta;
  • Transposta.

Matriz Linha

Uma matriz linha é, como o nome sugere, uma matriz que possui apenas uma linha e várias colunas. 

Um exemplo que podemos dar do tipo de matriz linha é a matriz A = [5 9 -7 1 6], sendo uma matriz com apenas 1 linha, mas tendo 5 colunas. Ela pode ser representada, então, pela seguinte forma: A 1×5.

Matriz Coluna

No caso da matriz coluna, ela é o inverso da matriz linha. Nela, como também é sugerido pelo nome, ela possui apenas uma coluna e várias linhas. 

Um exemplo que podemos dar desse tipo de matriz é o da imagem seguinte, sendo identificada através de B 3×1.

Matriz Quadrada

A matriz quadrada é o tipo de matriz especial em que possui o mesmo número de linhas e de colunas. 

Se uma matriz for representada pelo número A 2×2, trata- se de uma matriz quadrada então.Veja um exemplo de matriz quadrada abaixo com esse número de linhas e colunas:

Matriz nula

Na matriz nula, todos os elementos que fazem parte dela são nulos, ou seja, o número 0. Um exemplo de matriz nula pode ser visto abaixo:

Matriz Diagonal

Esse tipo de matriz é também uma matriz quadrada. Porém no caso dela, todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Um exemplo desse tipo está na imagem abaixo:

Matriz Identidade

multiplicacao de matrizes identidade

A matriz identidade ocorre quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0. 

Um exemplo de matriz identidade pode ser visto na imagem acima.

Matriz Inversa

A matriz inversa é também mais um tipo de matriz quadrada. Ela acontece quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem.

Sendo assim, A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A). Em baixo, trazemos um exemplo de matriz inversa:

Matriz oposta

De forma geral, o oposto significa o contrário. Sendo assim, na matemática, portanto, o oposto de 6 é -6. Da mesma forma, isso também acontece nas matrizes.

Dada uma matriz se B m x n, a sua matriz oposta será representada por –A. Ou seja, para encontrar o oposto de uma matriz, é preciso tornar todos os elementos da matriz em seus opostos.

Um exemplo de matriz oposta pode ser visto na imagem a seguir:

Matriz transposta

A matriz transposta, por fim, é um tipo de matriz que apresenta os mesmos elementos de uma linha ou coluna comparada com outra matriz.Os elementos iguais entre as duas, no entanto, são invertidos. 

Isso significa dizer que a linha de uma apresenta os mesmos elementos que a coluna de outra ou, ainda, que a coluna de uma possui os mesmos elementos da linha de outra.

 

Um exemplo de matriz transposta está na imagem abaixo, como podemos ver:

Operação com matrizes

Agora, vamos falar sobre algumas operações que são feitas com as matrizes, como soma, subtração e multiplicação.

Soma e subtração das matrizes

A adição e subtração de matrizes é calculada de forma simples e intuitiva. Par realizar, basta somar ou subtrair os elementos correspondentes entre as matrizes.

Sendo assim, no caso da soma, se somarmos uma matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem.

Para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.

Já no caso da subtração, se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. 

Para formarmos os elementos de C, subtraímos os elementos de A com os elementos correspondentes de B. 

Por exemplo, a21 – b21 = c21. Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.

Multiplicação de matrizes

Existem vários tipos de multiplicações que podem ser feitas com as matrizes. Elas podem se multiplicar tanto entre si, como é possível multiplicar números isolados com as matrizes.

Uma matriz multiplicada por um número qualquer resulta em uma nova matriz com todos os seus elementos multiplicados por este número. 

Como funciona a multiplicação de matrizes?

como funciona multiplicacao matrize

No caso das multiplicação de matrizes entre si,  o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. 

Sendo assim, a matriz produto resultante possui ordem dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda.

Os elementos da matriz são obtidos por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes. No caso das multiplicação de matrizes, a ordem dos elementos sempre afeta o resultado.

Existem alguns tipos de multiplicações de matrizes, sendo elas

  • Associativa:
  • Distributiva à direita:
  • Distributiva à esquerda:
  • Elemento neutro: , onde In é a matriz identidade

Aqui vamos trazer um exemplo de multiplicação de matrizes para exemplificar o processo e ser mais fácil de entender. 

Como é possível observar, a primeira matriz possui o número de colunas da primeira igual ao número de linhas da segunda.

Em primeiro lugar, vamos multiplicar os elementos da linha 1 de A com os da coluna 1 de B. Ao encontrar produtos, esses valores devem ser somados:

  • c11 = 2 . 1 + 3 . 0 + 1 . 4 = 6

Depois, é hora de multiplicar e somar os elementos da linha 1 de A com a coluna 2 de B:

  • c12 = 2 . (-2) + 3 . 5 + 1 . 1 = 12

Após isso, então, vamos passar para a linha 2 de A e multiplicar e somar com a coluna 1 de B:

  • c21 = (-1) . 1 + 0 . 0 + 2 . 4 = 7

Ainda na linha 2 de A, vamos multiplicar e somar com a coluna 2 de B:

  • c22 = (-1) . (-2) + 0 . 5 + 2 . 1 = 4

Com isso, será possível chegar no resultado, no qual a multiplicação de A . B é:

Quando é possível multiplicar duas matrizes?

Somente é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz é  igual ao número de linhas da segunda matriz.  

Quando não se pode multiplicar matrizes?

No caso de matrizes em que o número de colunas da primeira matriz não é  igual ao número de linhas da segunda matriz, portanto, não é possível fazer a multiplicação de matrizes.

É possível multiplicar matrizes de ordens diferentes?

Sim. É possível fazer a multiplicação de matrizes de ordens diferentes desde que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.

Quer exercitar mais sobre as matrizes? Separamos as melhores atividades e as disponibilizamos de forma completamente gratuita. Confira nossos exercícios resolvidos e aprenda mais!

Conclusão

Nesse artigo você pode entender mais sobre a multiplicação de matrizes, além da sua importância e dos vários tipos de matrizes que existem. 

Suas aplicações são diversas, servindo como grande ferramenta na interpretação de gráficos que também podem ser originados de tabelas. 

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