Existem diversos assuntos de matemática que alunos do ensino médio podem ter dificuldade para resolver exercícios. Um desses exemplos podem ser as matrizes e a multiplicação de matrizes,
A multiplicação de matrizes é feita por meio de um algoritmo que exige bastante atenção durante o cálculo para que o resultado seja o correto. Se você tem dúvidas sobre esse assunto e quer aprender mais sobre, está no artigo certo!
Aqui vamos ensinar o que são as matrizes, quais são os tipos de matrizes que existem, como fazer soma, subtração e multiplicação de matrizes, além de explicar quais são os casos em que não se pode fazer a multiplicação delas. Boa leitura!
Primeiro, o que são as matrizes?
Em primeiro lugar, é importante esclarecer que as matrizes se configuram como uma tabela organizada em linhas e colunas.
As matrizes são sempre representadas por letras maiúsculas (como, por exemplo, A, B, e C) e são acompanhadas por índices.
Os índices que acompanham as matrizes servem para indicar a quantidade de linhas, no caso do primeiro, e o número de colunas, no caso do segundo valor.
Dessa forma, as matrizes são representadas por essa simbologia: Am x n, sendo m = linhas e n = colunas.
A quantidade de fileiras horizontais e fileiras verticais de uma matriz determina sua ordem. Sendo assim, como mostramos neste exemplo, a matriz A tem a ordem m por n. Um exemplo de representação de matriz pode ser visto na imagem abaixo:
Nesse caso, trata-se de uma matriz com duas linhas e duas colunas. Sua ordem é, portanto, A 2×2.
Além disso, também é possível escrever um elemento utilizando uma representação matemática, representando genericamente os elementos de uma matriz, portanto.
As informações de uma matriz se chamam de elementos e ficam organizadas entre parênteses, colchetes ou duas barras verticais
Cada elemento será representado por letras minúsculas (como, por exemplo, a, b e c). Dessa forma, ele também possui índice que indica sua localização.
O primeiro número indica a linha em que o elemento está, e o segundo número indica a coluna na qual ele se localiza. O primeiro número diz respeito à localização da linha e o segundo, da coluna.
O elemento a 1×1, no caso do exemplo que mostramos acima, representa o número 1. Já o elemento a 1×2 representa o número 3. O a 2×1 representa o número 2 e o a 2×2 representa o número -1.
Qual a importância do cálculo de matrizes?
A função das matrizes, de modo geral, é relacionar dados numéricos. Portanto, trata-se de um conceito de matriz que não é só importante para a área da matemática, mas também em outras áreas, devido as suas aplicações.
Com o objetivo de facilitar e resolver problemas, a matriz é comumente utilizada para a organização de dados tabulares.
O conjunto das matrizes, quando usado nas operações de adição, subtração e multiplicação e de características, podem oferecer uma estrutura matemática que possibilita sua aplicação em diversos campos da matemática.
Como as matrizes organizam os elementos de maneira lógica para facilitar a consulta das informações, ela pode ser usada em elementos do dia a dia, como, por exemplo, para relacionar a venda dos bolos de uma confeitaria no primeiro e segundo semestre do ano.
A tabela representa uma matriz com 3 linhas (tipos de bolo) e 2 colunas (meses do ano) e, por isso, trata-se de uma matriz A3x2.
| TIPOS DE BOLOS | PRIMEIRO SEMESTRE | SEGUNDO SEMESTRE |
| BOLO DE BRIGADEIRO | 600 | 720 |
| BOLO DE MORANGO | 500 | 540 |
| BOLO DE CHURROS | 900 | 1000 |
Quais são os tipos de matrizes?
Os tipos de matrizes incluem as diversas maneiras de representação de seus elementos. Algumas das suas classificações são:
- Linha;
- Coluna;
- Quadrada;
- Nula
- Diagonal;
- Identidade;
- Inversa;
- Oposta;
- Transposta.
Matriz Linha
Uma matriz linha é, como o nome sugere, uma matriz que possui apenas uma linha e várias colunas.
Um exemplo que podemos dar do tipo de matriz linha é a matriz A = [5 9 -7 1 6], sendo uma matriz com apenas 1 linha, mas tendo 5 colunas. Ela pode ser representada, então, pela seguinte forma: A 1×5.
Matriz Coluna
No caso da matriz coluna, ela é o inverso da matriz linha. Nela, como também é sugerido pelo nome, ela possui apenas uma coluna e várias linhas.
Um exemplo que podemos dar desse tipo de matriz é o da imagem seguinte, sendo identificada através de B 3×1.
Matriz Quadrada
A matriz quadrada é o tipo de matriz especial em que possui o mesmo número de linhas e de colunas.
Se uma matriz for representada pelo número A 2×2, trata- se de uma matriz quadrada então.Veja um exemplo de matriz quadrada abaixo com esse número de linhas e colunas:
Matriz nula
Na matriz nula, todos os elementos que fazem parte dela são nulos, ou seja, o número 0. Um exemplo de matriz nula pode ser visto abaixo:
Matriz Diagonal
Esse tipo de matriz é também uma matriz quadrada. Porém no caso dela, todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Um exemplo desse tipo está na imagem abaixo:
Matriz Identidade
A matriz identidade ocorre quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0.
Um exemplo de matriz identidade pode ser visto na imagem acima.
Matriz Inversa
A matriz inversa é também mais um tipo de matriz quadrada. Ela acontece quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem.
Sendo assim, A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A). Em baixo, trazemos um exemplo de matriz inversa:
Matriz oposta
De forma geral, o oposto significa o contrário. Sendo assim, na matemática, portanto, o oposto de 6 é -6. Da mesma forma, isso também acontece nas matrizes.
Dada uma matriz se B m x n, a sua matriz oposta será representada por –A. Ou seja, para encontrar o oposto de uma matriz, é preciso tornar todos os elementos da matriz em seus opostos.
Um exemplo de matriz oposta pode ser visto na imagem a seguir:
Matriz transposta
A matriz transposta, por fim, é um tipo de matriz que apresenta os mesmos elementos de uma linha ou coluna comparada com outra matriz.Os elementos iguais entre as duas, no entanto, são invertidos.
Isso significa dizer que a linha de uma apresenta os mesmos elementos que a coluna de outra ou, ainda, que a coluna de uma possui os mesmos elementos da linha de outra.
Um exemplo de matriz transposta está na imagem abaixo, como podemos ver:
Operação com matrizes
Agora, vamos falar sobre algumas operações que são feitas com as matrizes, como soma, subtração e multiplicação.
Soma e subtração das matrizes
A adição e subtração de matrizes é calculada de forma simples e intuitiva. Par realizar, basta somar ou subtrair os elementos correspondentes entre as matrizes.
Sendo assim, no caso da soma, se somarmos uma matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem.
Para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.
Já no caso da subtração, se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem.
Para formarmos os elementos de C, subtraímos os elementos de A com os elementos correspondentes de B.
Por exemplo, a21 – b21 = c21. Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.
Multiplicação de matrizes
Existem vários tipos de multiplicações que podem ser feitas com as matrizes. Elas podem se multiplicar tanto entre si, como é possível multiplicar números isolados com as matrizes.
Uma matriz multiplicada por um número qualquer resulta em uma nova matriz com todos os seus elementos multiplicados por este número.
Como funciona a multiplicação de matrizes?
No caso das multiplicação de matrizes entre si, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz.
Sendo assim, a matriz produto resultante possui ordem dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda.
Os elementos da matriz são obtidos por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes. No caso das multiplicação de matrizes, a ordem dos elementos sempre afeta o resultado.
Existem alguns tipos de multiplicações de matrizes, sendo elas
- Associativa:
- Distributiva à direita:
- Distributiva à esquerda:
- Elemento neutro: , onde In é a matriz identidade
Aqui vamos trazer um exemplo de multiplicação de matrizes para exemplificar o processo e ser mais fácil de entender.
Como é possível observar, a primeira matriz possui o número de colunas da primeira igual ao número de linhas da segunda.
Em primeiro lugar, vamos multiplicar os elementos da linha 1 de A com os da coluna 1 de B. Ao encontrar produtos, esses valores devem ser somados:
- c11 = 2 . 1 + 3 . 0 + 1 . 4 = 6
Depois, é hora de multiplicar e somar os elementos da linha 1 de A com a coluna 2 de B:
- c12 = 2 . (-2) + 3 . 5 + 1 . 1 = 12
Após isso, então, vamos passar para a linha 2 de A e multiplicar e somar com a coluna 1 de B:
- c21 = (-1) . 1 + 0 . 0 + 2 . 4 = 7
Ainda na linha 2 de A, vamos multiplicar e somar com a coluna 2 de B:
- c22 = (-1) . (-2) + 0 . 5 + 2 . 1 = 4
Com isso, será possível chegar no resultado, no qual a multiplicação de A . B é:
Quando é possível multiplicar duas matrizes?
Somente é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.
Quando não se pode multiplicar matrizes?
No caso de matrizes em que o número de colunas da primeira matriz não é igual ao número de linhas da segunda matriz, portanto, não é possível fazer a multiplicação de matrizes.
É possível multiplicar matrizes de ordens diferentes?
Sim. É possível fazer a multiplicação de matrizes de ordens diferentes desde que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.
Conclusão
Nesse artigo você pode entender mais sobre a multiplicação de matrizes, além da sua importância e dos vários tipos de matrizes que existem.
Suas aplicações são diversas, servindo como grande ferramenta na interpretação de gráficos que também podem ser originados de tabelas.
