Você certamente já ouviu falar sobre a expressão “crescimento exponencial”, não é mesmo? Ela é usada para designar uma coisa que se expande grandemente e rapidamente. 

Na matemática, esse crescimento pode ser calculado por meio da função exponencial.Se você anda estudando para provas de vestibular ou concursos, é possível que já tenha se deparado com esse tipo de função exponencial. 

Acertamos? Elas fazem parte de algumas das mais populares questões de provas, sendo um dos principais assuntos da matemática. 

A função exponencial, em resumo, é uma função em que o número constante  maior que 0 e diferente de 1, é elevado ao expoente que é uma variável. 

A razão pela qual o número precisa ser diferente de um é que, se a função tivesse o número 1 em sua base, ela seria constante, e não exponencial. 

Neste artigo, falaremos sobre tipos de funções exponenciais, suas propriedades, aplicações e como resolver questões que envolvem esse problema matemático. Bons estudos! 

O que é uma função exponencial?

Como o próprio nome pode sugerir, a função exponencial está ligada ao expoente. Sendo assim, a função exponencial pode ser definida como uma função cujo domínio é o conjunto de números reais, enquanto o contradomínio é composto de números reais positivos, que não são nulos. 

A sua lei de formação pode ser descrita por f(x) = aˣ, no qual a letra ‘a’ é a base, e o seu valor sempre será um número real positivo. Aqui vão alguns exemplos: 

f(x) = 2ˣ

f(x) = 0,3ˣ

É importante lembrarmos que, na lei de formação, o , f(x) pode ser descrito também como y, já que ele é uma variável dependente, ou seja, o seu calor depende do valor atribuído ao X. 

Tipos de função exponencial

As funções exponenciais podem ser divididas em dois principais casos: crescente, ou decrescente. A função  f(x) = aˣ terá um gráfico crescente quando a sua base tiver um número maior do que um. Quanto maior o valor de X, nesse caso, maior será o valor de Y. 

Enquanto isso, podemos dizer que uma função exponencial é decrescente quando sua  maior que 0 e menor que 1. Em funções decrescentes, quanto maior o valor de X, menor será o valor de Y. 

Função Crescente

Toda função é um parâmetro matemático. Isso quer dizer que elas associam determinados valores a um conjunto de números. Esses valores regulam o conjunto e são conhecidos como domínio. Enquanto isso, os números modulados são conhecidos como contradomínio. 

Na função crescente, conforme os números do domínio são aumentados, os do contradomínio também subirão seus valores. Sendo assim, quando um valor é adicionado à primeira variável, a resposta será maior que a anterior, causando um aumento. 

Função Decrescente

Enquanto isso,a função decrescente funciona a partir da mesma lógica, mas fazendo o caminho inverso. Enquanto o número do valor do domínio é aumentado, os valores do contradomínio tendem a acompanhar a tendência negativamente, diminuindo o seu próprio valor. 

Sendo assim, é possível dizer que na função decrescente, quanto maior o valor do domínio, menor será o resultado obtido no contradomínio. 

O gráfico da função exponencial: como ele funciona? 

Traçar o gráfico de uma função exponencial requer que, antes, você encontre o valor numérico para as variáveis X. 

Como vimos no tópico anterior, o gráfico pode ser crescente ou decrescente. O gráfico de uma função exponencial é representado por uma curva, que é obtida por meio da ordenação dos pares que relacionam os valores.

É fácil observar que os valores não passam pelo 3º e 4º quadrante do plano cartesiano, já que os números que representam o contradomínio são reais positivos e maiores que 0.

Veja agora alguns exemplos de gráficos de função exponencial.

Função f(x) = 3x

Função f(x) = (1/2)ˣ

Quais as propriedades da função exponencial? 

É possível dizer que a função exponencial tem 4 principais propriedades. Explicaremos cada uma delas abaixo, confira: 

1ª propriedade:  f(0) = 1

É possível dizer que a primeira propriedade das funções exponenciais é, na verdade, uma consequência das propriedades de potência, porque, na base, todo número que é diferente de 0, quando elevado a 0, é igual a 1.

2ª propriedade: f(x1) ≠ f(x2)

Na função exponencial, para valores diferentes de x, a imagem também será diferente. Isso quer dizer que a função é injetiva. Em outras palavras, isso significa que para valores diferentes de y, vai haver um valor único de x que faz com que f(x) ser igual a y. 

3ª propriedade

Como já falamos em outros tópicos deste artigo, a função exponencial pode ser crescente ou decrescente. Se a base for maior do que o número 1 – ou seja,  (a >1) – ela será crescente. Se a base for um número menor que um, mas maior que zero, ela será decrescente. 

4ª propriedade

Nenhum gráfico de função exponencial corta o eixo x. Mesmo que o valor da imagem seja muito baixo, ele nunca chegará a zero. Na matemática, é comum usarmos o termo “tende a 0”, mas ainda assim, não existe um valor suficiente para fazer com que f(x) = 0.

Como resolver uma função exponencial?

Assim como qualquer outra equação, para resolver uma função exponencial, você precisa encontrar o valor numérico das incógnitas. A equação exponencial é uma expressão algébrica que se caracteriza pela igualdade, tendo pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes. 

Falaremos um pouco mais sobre as questões de função exponencial e daremos exemplos de questões resolvidas dentro de alguns tópicos. Continue acompanhando! 

Importância e aplicabilidade da função exponencial

Não pense que as funções exponenciais não tem aplicabilidade no mundo real. Elas são ferramentas matemáticas importantes, e podem ser usadas para simplificar cálculos complexos.

Ela pode ser observada com mais frequência na área financeira, principalmente no cálculo de juros compostos. Na geografia, ela pode ser usada também para se estimar o crescimento populacional. 

Enquanto isso, na química, ela pode ser usada no cálculo do decaimento radioativo e na biologia, ela pode ser usada para calcular o crescimento bacteriano ao longo do tempo. 

A Constante de Euler: a importância da letra E

Dentro das funções exponenciais existem, ainda, as funções que são chamadas de funções exponenciais naturais, que são caracterizadas por ter o número de Euler como base. 

O número de Euler, ou Constante de Euler, é um número irracional, que vale aproximadamente 2,718281828. Esse tipo de função exponencial é caracterizado por ter uma curva de inclinação positiva e crescente.

A Constante de Euler é muito utilizada em áreas do conhecimento como a física, a engenharia, a biologia, a matemática e a economia.

Conexão entre o número ‘e’ e a função exponencial

O número ‘e’ é um número que se assemelha muito ao Pi, no sentido de que é irracional e transcendente. Ele foi demonstrado por por Lambert em 1761 e, só então por Euler, que batizou a constante. 

O matemático suíço começou a usar a letra ‘e’ para representar essa constante ainda em 1727. Não se sabe ao certo porque a letra ‘e’ foi a escolhida para batizá-la, mas existe a especulação de que isso ocorreu porque essa é a primeira letra da palavra ‘exponencial’.

Função exponencial e função logarítmica

A comparação entre a função logarítmica e a exponencial é inevitável, uma vez que elas desempenham funções inversas. É possível observar que os gráficos das duas funções são simétricos, traçando o mesmo desenho em relação à bissetriz do eixo X. 

Função exponencial: aplicação em juros compostos

Como explicamos, a função exponencial tem várias aplicações diferentes, e uma das mais comuns é na economia, mais precisamente no cálculo de juros compostos. 

Uma vez que a principal característica de uma função exponencial é o aparecimento de uma variável no expoente, essa variável pode ser usada para calcular o tempo e, consequentemente, calcular os juros gerados por determinada aplicação. 

Atividades de função exponencial resolvidas

Procurando por questões resolvidas de função exponencial? Aqui vão algumas das que mais caem em provas, para te ajudar a estudar com mais propriedade. Confira… 

Questão 1

(Enem 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1800, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800 (1,03)t.

De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional de empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,

1. A) 7416,00.
2. B) 3819,24.
3. C) 3709,62.
4. D) 3708,00.
5. E) 1909,62.

Resposta: alternativa E

Queremos encontrar o valor do salário para t = 2:

s(t) = 1800 (1,03)t

s(2) = 1800 (1,03)2

s(2) = 1800 · 1,0609

s(2) = 1909,62

Questão 2 

(Enem) Um trabalhador possui um cartão de crédito que, em determinado mês, apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento do cartão, mas não contém parcelamentos a acrescentar em futuras faturas. 

Nesse mesmo mês, o trabalhador é demitido. Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o cartão de crédito e também não tem como pagar as faturas, nem a atual nem as próximas, mesmo sabendo que, a cada mês, incidirão taxas de juros e encargos por conta do não pagamento da dívida. 

Ao conseguir um novo emprego, já completados 6 meses de não pagamento das faturas, o trabalhador procura renegociar sua dívida. O gráfico mostra a evolução do saldo devedor.

Com base no gráfico, podemos constatar que o saldo devedor inicial, a parcela mensal de juros e a taxa de juros são

1. A) R$ 500, constante e inferior a 10% ao mês.
2. B) R$ 560, variável e inferior a 10% ao mês.
3. C) R$ 500, variável e superior a 10% ao mês.
4. D) R$ 560, constante e superior a 10% ao mês.
5. E) R$ 500, variável e inferior a 10% ao mês

Resposta: alternativa C

Analisando o gráfico, é possível perceber que ele inicia em R$ 500, pois, quando o tempo é igual a 0, a dívida é igual a 500.

Ao analisar o gráfico, é possível perceber que, a cada mês, o valor de juros é maior, o que faz com que a taxa seja variável.

Agora, para analisar se a taxa é superior ou inferior a 10%, sabemos que 10% de 500 = 50. Note que o crescimento no primeiro mês foi maior que 50 reais, logo, a taxa é superior a 10% ao mês.

Então, o valor inicial é de R$ 500 e a taxa é variável e superior a 10% ao mês.

Questão 3

Ao observar, em um microscópio, uma cultura de bactérias, um cientista percebeu que elas se reproduzem como uma função exponencial. A lei de formação que relaciona a quantidade de bactérias existentes com o tempo é igual a f(t) = Q · 2t-1, em que Q é a quantidade inicial de bactérias e ‘t’ é o tempo em horas. Se nessa cultura havia, inicialmente, 700 bactérias, a quantidade de bactérias após 4 horas será de:

1. A) 7000
2. B) 8700
3. C) 15.300
4. D) 11.200
5. E) 5600

Resposta: alternativa E

Dados Q = 700 e t = 4, substituindo na fórmula:

f(t) = K · 2t-1

f(4) = 700 · 24-1

f(4) = 700 · 23

f(4) = 700 · 8

f(4) = 5600

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Conclusão

A função exponencial é uma aplicação matemática com muitos usos no dia a dia. Desde a biologia, química, passando pela economia e geografia, o cálculo exponencial é um dos recursos matemáticos mais usados para simplificar equações complicadas. 

Neste artigo, você aprendeu o que é uma função exponencial, quais os principais tipos de função exponencial que existem, suas propriedades e ainda as aplicações práticas desse conceito matemático. 

Também compartilhamos a resolução de questões sobre função exponencial. Esperamos que este guia tenha sido útil na sua jornada de estudos. Se você quiser saber mais sobre outros assuntos da matemática, ou qualquer outra matéria, continue navegando pelo nosso blog!