Bem vind@ a mais um conteúdo do Caderno do Amigo! Nesse post trataremos de como resolver exercícios de autovalores e autovetores.

Para um melhor entendimento desse conteúdo, é interessante que você já tenha conhecimento de outros, tipo o domínio sobre o assunto matrizes.

Autovalores e autovetores são conceitos relacionados com transformações lineares. Eles possuem aplicações em áreas diversas, como é o de análise de vibrações, mecânica dos sólidos e estatística.

O que são autovetores?

O primeiro ponto é que para o estudo é necessário considerar apenas matrizes quadradas, ou seja, aquelas que são Anxn.

Um vetor x≠0 é chamado autovetor de uma matriz Anxn se a transformação linear deste vetor é colinear a este valor. Ou seja, se Ax = λx , o escalar λ é chamado autovalor da matriz Anxn correspondente ao autovetor x.

Um vetor é dito ser autovetor da matriz se a transformação linear deste vetor é colinear a este vetor. Em outras palavras, x é um vetor genérico que quando descobrirmos será o formato de nosso autovetor, sendo a direção preservada por uma matriz.

O  λ é nosso autovalor e o número que está alterando a norma do vetor. Assim os autovetores são vetores que após aplicado na matriz A aparecem no resultado multiplicado por um autovalor λ.

O que são autovalores?

O autovalor de A é um número λ tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa matriz singular (ou não-invertível).

Subtrair um escalar λ de cada entrada na diagonal de A significa a mesma coisa que subtrair λ vezes a matriz identidade I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz em questão é singular.

Se uma matriz possui um autovalor nulo, portanto, isso vai implicar que ela não é inversível. Dessa forma, os autovalores nos fornecem informações sobre a inversibilidade da matriz de vetores característicos.

Associação entre autovetores e autovalores

Um ponto muito importante sobre os autovetores e autovalores é que sempre que há um autovetor há um autovalor associado e os autovetores só podem estar associados a um único autovalor.

No entanto, um autovalor pode estar associado a mais de um autovetor. Quando isso ocorre dizemos que o autovalor com multiplicidade n, onde n é a dimensão dos autoespaços aos quais o autovalor está associado.

Para isso, existem teoremas e definições que auxiliam na descoberta de autovetores e autovalores dependendo das situações.

Para exemplificar para você exercícios desse conteúdo, trouxemos um exercício resolvido abaixo.

Exercício: Encontre uma matriz A3x3 com autovalores λ1=0 , λ2= 1 e λ3=-1 e autovetores associados u1=(0,1,-1) , u2=(1,-1,1) , u2=(0,1,1), respectivamente.